Веселая математика. Равенство треугольников

Название журнала: 
Горизонты техники для детей
Номер: 
01/1989
Предметная область: 
Математика

На некотором расстоянии друг от друга стояли два дома. Один был выше. На крышах домов сидело по воробью. На земле лежало зернышко очень аппетитное на вид. Воробьи увидели зернышко и слетели каждый со своей крыши на землю. При этом они пролетели одинаковое расстояние... Звучит как начало сказки для маленьких детей, но вопросы к вам будут серьезные.

Итак.

Можно ли ответить на эти вопросы, если вам известно, что все величины в загадке выражены целыми однозначными числами?

- Это просто невозможно! - ответите вы. - Без каких-либо числовых данных загадку не решить!

А все-таки...

Рисунок показывает, что два прямоугольных треугольника (их боковые стороны — это высота домов, расстояние от домов до зерна и расстояние, которое пролетели воробьи) — равны. Это самое важное, так как отсюда следует вывод, что расстояние между домами равняется сумме их высоты. А расстояние может быть только 7, 8 или 9 метров. Почему? Если больше 9, то 10, а это две цифры. Если меньше 7, то трудно представить себе дом, высота которого вместе с крышей равняется 1 или 2 метрам. Ну, а если высота домиков 3, 4, 5 или 6 метров, то самая меньшая сумма — это 7 (3 + 4 = 7).

Итак, высота домов может быть 3 м и 4 м, 3 м и 5 м, 3 м и 6 м или 4 м и 5 м. Среди этих комбинаций условиям задачи отвечает только первая: 3 м и 4 м. Только в этом случае можно нарисовать прямоугольный треугольник, длина боковых сторон которого выражена целыми и однозначными числами. Гипотенузы в обоих треугольниках равны 5 (согласно теореме Пифагора). Таким образом, получается: 52 = 42 + 32, то есть 25 = 16 + 9. Проверьте и убедитесь, что три другие предположения не отвечают условиям нашей задачи.

Например, 32 + 52 = x2, 9 + 25 = 34, x = √34 ≈ 5.83 (результат — дробное число).

Таким образом, решение задачи следующее. Высота одного дома 3 м, другого — 4 м; расстояние между ними 7 м; зерно лежало на расстоянии в 4 м от низкого дома и в 3 м — от высокого. Выходит, каждый воробей пролетел 5 м.

Кто-нибудь мог бы упрекнуть нас, что наше предположение о равных треугольниках было неточным, так как основано на чисто зрительной оценке размеров на рисунке. Однако оно оказалось правильным. Ведь если боковые стороны обоих треугольников соответственно равны, то и треугольники равны.

Вот и оказалось, что можно получить конкретный ответ, когда в условиях задачи не дано ни одного числа.

Скажу вам больше, можно даже подсчитать с точностью до одного сантиметра, на каком расстоянии друг от друга сидели на крышах воробьи. Попробуйте эту задачу решить сами. Мы только заметим, что угол между пунктирами на рисунке, обозначающими полет воробьев, - прямой.

В.В.

Расстояние между сидящими на крышах воробьями равняется примерно 7.07 м. Согласно теореме Пифагора x2 = 52 + 52, x2 = 50, x ≈ 7.07 м.